Конверт (волны) - Envelope (waves)

Функции верхней и нижней огибающей для модулированной синусоидальной волны.

В физика и инженерное дело, то конверт из колеблющийся сигнал представляет собой плавную кривую, очерчивающую ее крайности.[1] Таким образом, оболочка обобщает концепцию постоянной амплитуда в мгновенная амплитуда. На рисунке показан модулированный синусоидальная волна варьируется между верхним и нижним конвертом. Огибающая функция может быть функцией времени, пространства, угла или любой переменной.

Пример: бьющиеся волны

Модулированная волна, полученная в результате сложения двух синусоидальных волн почти одинаковой длины и частоты.

Обычная ситуация, приводящая к огибающей функции в обоих пространствах Икс и время т представляет собой суперпозицию двух волн почти одинаковой длины волны и частоты:[2]

который использует тригонометрическую формулу для сложение двух синусоидальных волн, а приближение Δλ ≪ λ:

Здесь длина волны модуляции λмод дан кем-то:[2][3]

Длина волны модуляции вдвое больше длины самой огибающей, потому что каждая полуволна модулирующей косинусоидальной волны определяет как положительные, так и отрицательные значения модулированной синусоидальной волны. Аналогичным образом частота биений огибающей, в два раза больше модулирующей волны, или 2Δж.[4]

Если эта волна является звуковой волной, ухо слышит частоту, связанную с ж и амплитуда этого звука зависит от частоты ударов.[4]

Фаза и групповая скорость

Красный квадрат движется вместе с фазовая скорость, а зеленые кружки распространяются вместе с групповая скорость.

Аргумент синусоид выше, не считая фактора 2π находятся:

с индексами C и E ссылаясь на перевозчик и конверт. Такая же амплитуда F волны получается из тех же значений ξC и ξE, каждый из которых может сам возвращаться к одному и тому же значению при разных, но должным образом связанных вариантах Икс и т. Эта инвариантность означает, что можно проследить эти формы волны в пространстве, чтобы найти скорость положения фиксированной амплитуды, когда оно распространяется во времени; для того, чтобы аргумент несущей волны оставался неизменным, выполняется условие:

что показывает сохранение постоянной амплитуды расстояния ΔИкс связана с интервалом времени Δт так называемым фазовая скорость vп

С другой стороны, те же соображения показывают, что огибающая распространяется в так называемом групповая скорость vграмм:[5]

Более общее выражение для групповой скорости получается введением волновой вектор k:

Заметим, что при малых изменениях Δλ, величина соответствующего небольшого изменения волнового вектора, скажем Δk, является:

поэтому групповая скорость может быть переписана как:

куда ω частота в радианах / с: ω = 2πж. Во всех средах частота и волновой вектор связаны соотношением соотношение дисперсии, ω = ω(k), а групповую скорость можно записать:

Соотношение дисперсии ω = ω (k) для некоторых волн, соответствующих колебаниям решетки в GaAs.[6]

В среде, такой как классический вакуум уравнение дисперсии для электромагнитных волн:

куда c0 это скорость света в классическом вакууме. В этом случае фазовая и групповая скорости равны c0.

В так называемом дисперсионные среды в соотношение дисперсии может быть сложной функцией волнового вектора, а фазовая и групповая скорости не совпадают. Например, для нескольких типов волн, проявляемых колебаниями атомов (фононы ) в GaAs на рисунке показаны дисперсионные соотношения для различные направления волнового вектора k. В общем случае фазовая и групповая скорости могут иметь разные направления.[7]

Пример: приближение огибающей функции

Вероятности электронов в двух нижних квантовых состояниях квантовой ямы 160À GaAs в GaAs-GaAlAs гетероструктура как рассчитано из огибающих функций.[8]

В физика конденсированного состояния энергия собственная функция для мобильного носителя заряда в кристалле можно выразить как Волна Блоха:

куда п - индекс зоны (например, зоны проводимости или валентной зоны) р это пространственное расположение, и k это волновой вектор. Экспонента - это синусоидально изменяющаяся функция, соответствующая медленно меняющейся огибающей, модулирующей быстро меняющуюся часть волновой функции. тып,k описывающее поведение волновой функции вблизи ядер атомов решетки. Конверт ограничен k-значения в диапазоне, ограниченном Зона Бриллюэна кристалла, и это ограничивает скорость его изменения в зависимости от местоположения. р.

При определении поведения носителей с помощью квантовая механика, то аппроксимация конверта обычно используется, в котором Уравнение Шредингера упрощено и относится только к поведению огибающей, а граничные условия применяются непосредственно к огибающей функции, а не ко всей волновой функции.[9] Например, волновая функция носителя, захваченного около примеси, определяется огибающей функцией F который управляет суперпозицией функций Блоха:

где фурье-компоненты огибающей F(k) находятся из приближенного уравнения Шредингера.[10] В некоторых приложениях периодическая часть тыk заменяется его значением около края полосы, скажем k=k0, а потом:[9]

Пример: дифракционные картины

Дифракционная картина от двойной щели имеет одинарную огибающую.

Дифракционные картины от нескольких щелей огибающие определяются дифракционной картиной с одной щелью. Для одиночной щели образец определяется следующим образом:[11]

где α - угол дифракции, d - ширина щели, λ - длина волны. Для нескольких прорезей шаблон [11]

куда q - количество щелей, а грамм - постоянная решетки. Первый фактор, однощелевой результат я1, модулирует более быстро меняющийся второй фактор, который зависит от количества щелей и их расстояния.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ К. Ричард Джонсон-младший; Уильям А. Сетхарес; Эндрю Г. Кляйн (2011). «Рисунок C.1: Огибающая функции плавно очерчивает ее экстремумы». Разработка программного приемника: создайте собственную систему цифровой связи за пять простых шагов. Издательство Кембриджского университета. п. 417. ISBN  0521189446.
  2. ^ а б Блэр Кинсман (2002). Ветровые волны: их зарождение и распространение на поверхности океана (Перепечатка изд. Prentice-Hall 1965). Courier Dover Publications. п. 186. ISBN  0486495116.
  3. ^ Марк В. Денни (1993). Воздух и вода: биология и физика среды обитания. Princeton University Press. стр.289. ISBN  0691025185.
  4. ^ а б Пол Аллен Типлер; Джин Моска (2008). Физика для ученых и инженеров, Том 1 (6-е изд.). Макмиллан. п. 538. ISBN  142920124X.
  5. ^ Питер В. Милонни; Джозеф Х. Эберли (2010). «§8.3 Групповая скорость». Лазерная физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 336. ISBN  0470387718.
  6. ^ Петр Юрьевич; Мануэль Кардона (2010). «Рис. 3.2: Дисперсионные кривые фононов в GaAs вдоль осей высокой симметрии». Основы полупроводников: физика и свойства материалов (4-е изд.). Springer. п. 111. ISBN  3642007090.
  7. ^ В. Червени; Властислав Червены (2005). «§2.2.9 Связь векторов фазовой и групповой скорости». Теория сейсмических лучей. Издательство Кембриджского университета. п. 35. ISBN  0521018226.
  8. ^ G Bastard; JA Brum; Р. Феррейра (1991). "Рисунок 10 в Электронные состояния в полупроводниковых гетероструктурах ». В Генри Эренрайх; Дэвид Тернбулл (ред.). Физика твердого тела: полупроводниковые гетероструктуры и наноструктуры. п. 259. ISBN  0126077444.
  9. ^ а б Кристиан Шюллер (2006). «§2.4.1 Приближение огибающей функции (EFA)». Неупругое рассеяние света полупроводниковыми наноструктурами: основы и последние достижения. Springer. п. 22. ISBN  3540365257.
  10. ^ Например, см. Марко Фанчулли (2009). «§1.1 Приближение огибающей функции». Электронный спиновой резонанс и связанные с ним явления в низкоразмерных структурах. Springer. стр.224 ff. ISBN  354079364X.
  11. ^ а б Кордт Грипенкерль (2002). "Распределение интенсивности при дифракции на щели и Картина интенсивности для дифракции на решетке ". У Джона У. Харриса; Уолтера Бененсона; Хорста Штекера; Хольгера Лутца (ред.). Справочник по физике. Springer. стр.306 ff. ISBN  0387952691.

В этой статье использованы материалы из Citizendium статья "Функция конверта "под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Непортированная лицензия но не под GFDL.